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# Cas du porteur seul

On considère le porteur seul constitué de la flèche 1 et du balancier 2 si le godet 3 est piloté indépendamment.

Soit la position du point \(O_3\) dans le repère lié au socle 0 : \(\overrightarrow{O_1O_3}=x_3\vec x_0+y_3\vec y_0\).

## MGD

Le MGD du bras complet se simplifie en :

\[ \left\lbrace \begin{array}{l} x_3=L_1\cos\gamma_1+L_2\cos\left(\gamma_1+\gamma_2\right)\\ y_3=L_1\sin\gamma_1+L_2\sin\left(\gamma_1+\gamma_2\right)\\ \end{array} \right. \]

## MGI

Le MGI du bras complet devient

\[ \left\lbrace \begin{array}{l} \gamma_2=\pm\textrm{acos}\left(\dfrac{x_3^2+y_3^2-\left(L_1^2+L_2^2\right)}{2L_1L_2}\right)\\ \gamma_1=\textrm{atan2}\left(\dfrac{y_3\left(L_1+L_2\cos\gamma_2\right)-x_3L_2\sin\gamma_2}{x_3\left(L_1+L_2\cos\gamma_2\right)+y_3L_2\sin\gamma_2}\right) \end{array} \right. \]

## Deux solutions

La figure ci-dessous montre que le problème possède deux solutions correspondant à deux postures différentes du bras 2 (sous réserve qu'il n'y ait pas de butées sur les articulations).

La position du point \(O_3\) dans le repère lié au socle 0 peut être atteinte avec le couple d'angles \(\left(\gamma_1,\gamma_2\right)\) ou le couple \(\left(\gamma_1^{*},\gamma_2^{*}=-\gamma_2\right)\)

Remarques

- L’angle \(\gamma_2\) peut aussi être trouvé en appliquant le théorème de Pythagore généralisé
- Connaissant \(\gamma_2\), le système d’équations à deux inconnues \(\sin\gamma_2\) et \(\cos\gamma_1\) peut être résolu en utilisant la méthode de Cramer via le déterminant du système.

Tous les détails des calculs

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