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# Vérin de flèche

Objectif

Déterminer l'effort dans le vérin de flèche

## Paramétrage

### Schéma cinématique

### Graphe de structure

### Hypothèses

Dans les calculs ci-dessous, la masse du vérin de flèche est négligée devant les autres masses mises en jeu.

\(\vec P\) correspond au poids de l'ensemble du bras sans le vérin de flèche appliqué au centre de masse \(G_S\). La position du centre de masse \(G_S\) dépend principalement de l'orientation du balancier par rapport à la flèche, du godet par rapport au balancier et de la masse embarquée dans le godet. Soit \(\overrightarrow{O_1G_S}=x_{G_S}\vec x_0 + y_{G_S}\vec y_0\).

Les liaisons sont supposées parfaites.

## Détermination de l'effort dans la tige du vérin flèche

### Inventaire des actions mécaniques

Dans cette étude, on distingue :

- les actions mécaniques transmissibles dans les liaions
  - \(\left\lbrace\mathcal{T}_{\textrm{bâti}\to\textrm{CVF}}\right\rbrace= \left\lbrace\begin{matrix}A_x&-\\A_y&-\\-&0\end{matrix}\right\rbrace_{A,-,-,\vec z_0}\)
  - \(\left\lbrace\mathcal{T}_{\textrm{bâti}\to\textrm{F}}\right\rbrace= \left\lbrace\begin{matrix}O_{1x}&-\\O_{1y}&-\\-&0\end{matrix}\right\rbrace_{0_1,-,-,\vec z_0}\)
  - \(\left\lbrace\mathcal{T}_{\textrm{CVF}\to\textrm{TVF}}\right\rbrace= \left\lbrace\begin{matrix}F_v&-\\Y&-\\-&N\end{matrix}\right\rbrace_{A,\mathcal{B}_{v1}}\)
  - \(\left\lbrace\mathcal{T}_{\textrm{TVF}\to\textrm{F}}\right\rbrace= \left\lbrace\begin{matrix}B_x&-\\B_y&-\\-&0\end{matrix}\right\rbrace_{B,-,-,\vec z_0}\)
- l'action de la pesanteur sur l'ensemble du bras sans le vérin de flèche
  - \(\left\lbrace\mathcal{T}_{\textrm{pes}\to\textrm{F}}\right\rbrace= \left\lbrace\begin{matrix}0&-\\-P&-\\-&0\end{matrix}\right\rbrace_{G_S,\mathcal{B}_0}\)

### Isolement de l'ensemble vérin flèche

L'ensemble vérin flèche est constitué du corps (CVF) et de la tige (TVF) du vérin.

Cet ensemble est en équilibre sous l'action de deux glisseurs aux points \(A\) et \(B\).

D'après le principe fondamental de la statique, les résultantes de ces deux glisseurs sont portées par la direction \(\overrightarrow{x_{v1}}\).

Ainsi :

- \(\left\lbrace\mathcal{T}_{\textrm{bâti}\to\textrm{CVF}}\right\rbrace= \left\lbrace\begin{matrix}\mathcal{R}_A&-\\0&-\\-&0\end{matrix}\right\rbrace_{A,\mathcal{B}_{v1}}\)
- \(\left\lbrace\mathcal{T}_{\textrm{TVF}\to\textrm{F}}\right\rbrace= \left\lbrace\begin{matrix}\mathcal{R}_B&-\\0&-\\-&0\end{matrix}\right\rbrace_{B,\mathcal{B}_{v1}}\)

### Isolement de la flèche

La flèche est en équilibre sous l'action de 3 glisseurs. Pour déterminer l'effort dans la tige de vérin, il convient d'écrire le théorème du moment statique au point \(O_1\) projeté sur la direction \(\vec z_0\) :

\[\overrightarrow{\mathcal{M}_{O_1,\textrm{bâti}\to F}}\cdot \vec z_0 + \overrightarrow{\mathcal{M}_{O_1,\textrm{pes}\to F}}\cdot \vec z_0 + \overrightarrow{\mathcal{M}_{O_1,\textrm{TVF}\to F}}\cdot \vec z_0 = 0\]
\[0+\left(\overrightarrow{O_1G_S}\wedge -P\overrightarrow{y_0}\right)\cdot \vec z_0 + \left(\overrightarrow{O_1B}\wedge \mathcal{R}_B\overrightarrow{x_{v1}}\right)\cdot \vec z_0=0\]
\[0+\left(\left(x_{G_S}\vec x_0 + y_{G_S}\vec y_0\right)\wedge -P\overrightarrow{y_0}\right)\cdot \vec z_0 + \mathcal{R}_B\,L_1\left(\overrightarrow{x_1'}\wedge \overrightarrow{x_{v1}}\right)\cdot \vec z_0=0\]
\[-Px_{G_S} - \mathcal{R}_B\,L_1\sin\left(\alpha_{v1}-\beta_1-\gamma_1\right)=0\]

Soit donc

\[\mathcal{R}_B=-\dfrac{Px_{G_S}}{L_1\sin\left(\alpha_{v1}-\beta_1-\gamma_1\right)}\]

### Isolement de la tige du vérin

L'application du théorème de la résultante statique en projection sur \(\overrightarrow{x_{v1}}\) donne :

\[F_v-\mathcal{R}_B=0\]

soit donc

\[F_v=-\dfrac{Px_{G_S}}{L_1\sin\left(\alpha_{v1}-\beta_1-\gamma_1\right)}\]
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